28 | 03 | 2024
Fonctions de référence
Maths au lycée - Seconde
exercice 1 Résolution d'équation avec un carré
exercice 2 Etude de la fonction cube
exercice 3 Utilisation du carré (minimisation)
exercice 4 Etude de fonction complète avec un carré
exercice 5 Utilisation du carré
exercice 6 Questions de cours sur le carré et l'inverse
exercice 7 Résolution d'équation avec un carré
exercice 8 Etude d'une fonction paire
exercice 9 Etude d'une fonction paire (graphique)
exercice 10 Résolution d'équation avec un carré (modélisation d'une situation géométrique)
exercice 11 Etude d'une fonction à l'aide de la fonction carré
exercice 12 Utilisation simple du sens de variation de la fonction carré
exercice 13 Utilisation du sens de variation de la fonction carré
exercice 14 Utilisation simple du sens de variation de la fonction carré
exercice 15 Résolution d'équation avec un carré
exercice 16 Résolution d'inéquations avec un carré
exercice 17 Utilisation simple du sens de variation de la fonction inverse

exercice 18

Résolution d'inéquations avec un inverse


Exercice 1

Exemple : L’équation admet deux solutions qui sont 2 et –2.

Résoudre les équations suivantes.

1)    

2)    

3)    

4)    

Indication : le nombre de solutions peut varier, tantôt deux, tantôt une, tantôt aucune !

 

Exercice 2

Etude de la fonction .

 

 

On considère la fonction  f définie sur R par  .

 

Partie 1 : sens de variation.

Rappel : on dit qu’une fonction est croissante sur un intervalle lorsque, pour tout couple de nombres pris dans cet intervalle, ces nombres et leurs images sont rangés dans le même ordre.

 

1.  Vérifier que .

2.      On suppose dans cette question que ,  et , démontrer alors que , en déduire que .

3.      On suppose dans cette question que ,  et , démontrer alors que , en déduire que .

4.      On suppose dans cette question que  et  (on a dès lors ). Quel est alors le signe de ? Quel est le signe de  ? En déduire que .

5.      Déduire des trois questions précédentes que la fonction f est croissante sur R.

 

Partie 2 : parité

1.      Soit appartenant à R. A-t-on le droit de calculer l’image de  par  f ?

 Si oui, vérifier  que .

2.      Etudier la parité de (cette fonction est-elle paire ou impaire ?).

3.      Conclure sur une propriété remarquable de la représentation graphique de f.

 

Partie 3 : représentation graphique de f.

1.  Recopier et compléter le tableau suivant :

x

-2

-1.5

-1

-0.8

-0.5

-0.3

0

0.2

0.7

1

1.5

2

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.      En prenant en compte les propriétés remarquées dans les parties 1 et 2 et le tableau de valeurs  obtenu précédemment, tracer dans un repère (O ; I, J) la représentation graphique de f.

3.      Résoudre graphiquement  puis .

Exercice 3

 

Soit f  définie sur R par

1)     Calculer l’image de -1 par f.

2)     Exprimer  f (x) + 9  en fonction de x, puis factoriser.

3)     En déduire le minimum de  f  sur R. En quelle valeur est-il atteint ?

Exercice 4

 

Soit f  la fonction définie sur R par .

1)     Calculer l’image de , puis celle de .

2)     Déterminer le ou les antécédents de –6.

 

3)     a)  Vérifier que

b)     En déduire le tableau de signe de l’expression .

c)     Conclure en donnant l’ensemble des solutions de .

4)     Soit ,  et .

a)      Vérifier que .

b)     Démontrer que . En déduire le signe de .

c)     Conclure quant au sens de variation de f  sur .

Exercice 5

 

1.      Donner le tableau de variation de la fonction , définie sur R.

2.      Trouver un encadrement de lorsque x appartient à [-3 ;-1], à l’aide du tableau de variation.

3.      Résoudre .

4.      Résoudre .

5.      Résoudre l’inéquation .

Exercice 6

 

1.      Donner le sens de variation, dans un tableau, de la fonction , définie sur R. Quel est le nom de la représentation graphique de cette fonction ?

2.      Donner la définition d’une fonction paire et le théorème correspondant.

3.      Donner le sens de variation, dans un tableau, de la fonction , définie sur R-{0}. Quel est le nom de la représentation graphique de cette fonction ?

4.      Donner la définition d’une fonction impaire et le théorème correspondant.

Exercice 7

 

1.      Résoudre .

2.      Résoudre .

3.      Résoudre .

4.      Résoudre l’inéquation .

Exercice 8

 

Soit h la fonction définie pour tout nombre réel x par h(x)=(x+3)(x-3)+6

1)     Calculer les images de 3 et .

2)     Déterminer le ou les antécédents de 13 par h.

3)     Démontrer que h est une fonction paire.

4)     Que peut-on en déduire quant à la représentation graphique de h ?

5)     Recopier et compléter le tableau suivant

 x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

 h(x)

 

 

 

 

 

-2

1

 

13

6)     Tracer la représentation graphique de h.

Exercice 9

 

La courbe ci-dessous représente une fonction  ¦ définie sur l’intervalle , dans un repère orthogonal ( O ; I ; J).

1- Dresser le tableau de variation de la fonction  f.

2- Résoudre graphiquement les équation suivantes, en expliquant la méthode utilisée :

     (on donnera pour chaque solution une valeur approchée à 0,1 près.)

     a) 

     b)

3- On admet que la fonction ¦ ci-dessus est définie, pour tout x de ,  par . 

     a)  Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.

     b) Développer et réduire .

     c) Utiliser le résultat précédent pour résoudre l’équation .

     d) Résoudre graphiquement, en expliquant la méthode utilisée, l’inéquation³ -7.

Exercice 10

 

On désire construire une piscine en forme de « L » dans un carré de 20 m de côté.

1- Calculer l’aire de la piscine en fonction de x.

2- Déterminer x pour que l’aire de la piscine soit 351 m2.

 

 

 

 

 

Exercice 11

 

Soit f  la fonction définie sur [0 ;20] par  .

1)     Calculer l’image de , puis celle de .

2)     Déterminer le ou les antécédents de 0.

3)     Donner le tableau de signe de f sur [0 ;20] .

4)     a)  Vérifier que .

b)     En déduire que, pour tout x de [0 ;20], on a .

c)     Conclure quant à la valeur du maximum atteint par f  sur [0 ;20]. Pour quelle valeur est-il atteint ?

Exercice 12

 

Utilisation du sens de variation de

Comparer les nombres suivants, sans calculs :

a)  1,022 et 1,052

b)     3,00022 et 3,022

c)     (-1,005)2 et (-0,9999)2

d)      4,5372 et 4,538

Exercice 13

 

Utilisation du sens de variation de

a)      Sachant que , comparer  et .

b)     Sachant que , comparer  et .

Exercice 14

 

Trouver un encadrement de x2 lorsque x appartient à l’intervalle [-1 ;2].

On pourra s’aider d’un tableau de variation.

Exercice 15

 

Résoudre les équations suivantes, on pourra s’aider de la représentation graphique de la fonction .

a)     

b)    

c)    

d)    

Exercice 16

 

Résoudre les inéquations suivantes

a)     

b)    

c)    

d)    

e)    

f)     

Exercice 17

 

Utilisation du sens de variation de la fonction .

a)      et

b)      et

c)     et

d)      et

Exercice 18

 

Résoudre les inéquations suivantes, on pourra s’aider de la représentation graphique de la fonction .

a)     

b)    

c)    

d)