Exercice 1
Exemple :
L’équation admet
deux solutions qui sont 2 et –2.
Résoudre
les équations suivantes.
1)
2)
3)
4)
Indication :
le nombre de solutions peut varier, tantôt deux, tantôt une, tantôt
aucune !
|
Exercice 2
Etude de la fonction
.
On considère la fonction f définie sur R par
.
Partie 1 :
sens de variation.
Rappel :
on dit qu’une fonction est croissante sur un intervalle lorsque,
pour tout couple de nombres pris dans cet intervalle, ces nombres et
leurs images sont rangés dans le même ordre.
1. Vérifier
que .
2.
On suppose
dans cette question que ,
et
,
démontrer alors que ,
en déduire que .
3.
On suppose
dans cette question que ,
et
,
démontrer alors que ,
en déduire que .
4.
On suppose
dans cette question que et
(on
a dès lors ).
Quel est alors le signe de ?
Quel est le signe de ?
En déduire que .
5.
Déduire des
trois questions précédentes que la fonction f est croissante sur R.
Partie 2 : parité
1.
Soit
appartenant
à R. A-t-on le droit de calculer l’image
de par f ?
Si oui, vérifier
que .
2.
Etudier la
parité de (cette
fonction est-elle paire ou impaire ?).
3.
Conclure sur
une propriété remarquable de la représentation graphique de f.
Partie 3 :
représentation graphique de f.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
x
|
-2
|
-1.5
|
-1
|
-0.8
|
-0.5
|
-0.3
|
0
|
0.2
|
0.7
|
1
|
1.5
|
2
|
f(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.
En prenant
en compte les propriétés remarquées dans les parties 1 et 2 et le tableau
de valeurs obtenu précédemment,
tracer dans un repère (O ; I, J) la représentation graphique de
f.
3.
Résoudre graphiquement
puis
. |
Exercice
3
Soit
f définie sur R
par
1)
Calculer l’image
de -1 par f.
2)
Exprimer f (x) + 9 en fonction de x, puis factoriser.
3)
En déduire
le minimum de f sur R. En quelle valeur est-il atteint ? |
Exercice 4
Soit f la fonction définie sur R par .
1)
Calculer l’image
de ,
puis celle de .
2)
Déterminer
le ou les antécédents de –6.
3)
a) Vérifier que
b)
En déduire
le tableau de signe de l’expression .
c)
Conclure en
donnant l’ensemble des solutions de .
4)
Soit
,
et
.
a)
Vérifier que
.
b)
Démontrer que
.
En déduire le signe de .
c)
Conclure quant
au sens de variation de f sur . |
Exercice 5
1.
Donner le tableau
de variation de la fonction ,
définie sur R.
2.
Trouver un
encadrement de lorsque
x appartient à [-3 ;-1], à l’aide du tableau de variation.
3.
Résoudre
.
4.
Résoudre
.
5.
Résoudre l’inéquation
. |
Exercice 6
1.
Donner le sens
de variation, dans un tableau, de la fonction ,
définie sur R. Quel est le
nom de la représentation graphique de cette fonction ?
2.
Donner la définition
d’une fonction paire et le théorème correspondant.
3.
Donner le sens
de variation, dans un tableau, de la fonction ,
définie sur R-{0}. Quel est le nom de la représentation
graphique de cette fonction ?
4.
Donner la définition
d’une fonction impaire et le théorème correspondant. |
Exercice 7
1.
Résoudre
.
2.
Résoudre
.
3.
Résoudre
.
4.
Résoudre l’inéquation
. |
Exercice 8
Soit h la fonction définie pour tout nombre réel
x par h(x)=(x+3)(x-3)+6
1)
Calculer les images de 3 et .
2)
Déterminer le ou les antécédents de 13 par h.
3)
Démontrer que h est une fonction paire.
4)
Que peut-on en déduire quant à la représentation graphique de h ?
5)
Recopier et compléter le tableau suivant
x
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
h(x)
|
|
|
|
|
|
-2
|
1
|
|
13
|
6)
Tracer la représentation graphique de h. |
Exercice 9
La courbe ci-dessous représente
une fonction ¦ définie sur l’intervalle ,
dans un repère orthogonal ( O ; I ; J).
1- Dresser le tableau de variation de la fonction f.
2- Résoudre
graphiquement les équation suivantes, en expliquant la méthode utilisée :
(on donnera
pour chaque solution une valeur approchée à 0,1 près.)
a)
b)
3- On admet que la fonction ¦ ci-dessus est définie, pour
tout x de ,
par .
a) Déterminer par le calcul
les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec l’axe des
abscisses.
b) Développer et réduire
.
c) Utiliser le résultat précédent
pour résoudre l’équation .
d) Résoudre graphiquement, en expliquant la méthode
utilisée, l’inéquation³ -7. |
Exercice 10
On désire construire une piscine
en forme de « L » dans un carré de 20 m de côté.
1- Calculer l’aire
de la piscine en fonction de x.
2- Déterminer
x pour que l’aire de la piscine soit 351 m2. |
Exercice 11
Soit f la fonction définie sur [0 ;20] par .
1)
Calculer l’image
de ,
puis celle de .
2)
Déterminer
le ou les antécédents de 0.
3)
Donner le tableau
de signe de f sur [0 ;20]
.
4)
a) Vérifier que .
b)
En déduire
que, pour tout x de [0 ;20], on a .
c)
Conclure quant
à la valeur du maximum atteint par f sur [0 ;20]. Pour quelle valeur est-il
atteint ? |
Exercice 12
Utilisation du sens de variation
de
Comparer
les nombres suivants, sans calculs :
a) 1,022 et 1,052
b)
3,00022
et 3,022
c)
(-1,005)2
et (-0,9999)2
d)
4,5372
et 4,538 |
Exercice
13
Utilisation
du sens de variation de
a)
Sachant que
,
comparer et
.
b)
Sachant que
,
comparer et
. |
Exercice
14
Trouver un encadrement de x2 lorsque x appartient à l’intervalle
[-1 ;2].
On
pourra s’aider d’un tableau de variation. |
Exercice
15
Résoudre
les équations suivantes, on pourra s’aider de la représentation graphique
de la fonction .
a)
b)
c)
d)
|
Exercice
16
Résoudre les inéquations suivantes
a)
b)
c)
d)
e)
f)
|
Exercice
17
Utilisation
du sens de variation de la fonction .
a)
et
b)
et
c)
et
d)
et
|
Exercice
18
Résoudre
les inéquations suivantes, on pourra s’aider de la représentation graphique
de la fonction .
a)
b)
c)
d)
|