Exercice 1
Soit f
la fonction représentée ci-après.
1.
Donner l'ensemble de définition de f .
2.
Dresser son tableau de variation.
3.
Résoudre graphiquement l'inéquation .
4.
Résoudre graphiquement l'inéquation .
|
Exercice 2
Partie A
Soit
ABC un triangle rectangle en A tel que AB=8cm et AC=4cm.
Soit
M un point de [AC], distinct de A et de C. On pose AM=x.
La
parallèle à la droite (AB) passant par M coupe [BC] en N.
1.
Quelles sont
les valeurs possibles pour x ? On donnera la réponse sous forme d’un
intervalle.
2.
Calculer, en
fonction de x, les longueurs CM et MN.
3.
Calculer, en
fonction de x, l’aire du trapèze ABNM.
Partie B
Soit f
la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; 4 ] par .
1.
Recopier puis compléter le
tableau de valeurs suivant
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
3.5
|
4
|
4.5
|
5
|
6
|
7
|
8
|
f(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.
Placer les points obtenus dans
un repère (O ; I, J).
3.
Les points M ( ;
10) et N ( ;
)
appartiennent-ils à la représentation graphique de f ? On justifiera par un calcul.
4.
Relier les points placés dans le repère d’une façon harmonieuse.
|
Exercice 3
Soit f définie sur l’intervalle [-4 ; 4] par
.
1.
Déterminer l’image de .
2.
Déterminer le ou les antécédents de .
3.
Déterminer le ou les antécédents de 0.
4.
Déterminer le ou les antécédents de 1. |
Exercice 4
Soit la fonction f définie sur R par .
1.
Calculer l’image de 0, de et
de .
2.
Calculer les antécédents éventuels de 15. |
Exercice 5
La
fonction f est définie sur R par .
1.
Calculer l'image de 3 par
f.
2.
Calculer l’image de 0 par f.
3.
Calculer .
4.
Déterminer le ou les antécédents
de 0 par f. |
Exercice
6
Soit g la fonction représentée ci-contre
1.
Donner l'ensemble de définition de
g.
2.
Lire l'image de 3 par g.
3.
Lire le ou les antécédents de 0 par
g.
4.
Résoudre graphiquement l'équation g (x)=2.
5.
Résoudre graphiquement l'équation .
6.
Dresser le tableau de variation de
g.
|
Exercice 7
Soit ABCD un rectangle tel que AD=7cm et DC=3cm.
Soit H un point de [AD]
tel que HD=1cm.
Soit M un point de [AH],
on note x la distance MD en centimètres.
1.
On pose x=4cm .(On fera évidemment attention à la rédaction).
Calculer
dans ce cas la distance MC.
2.
Recopier puis compléter le tableau suivant.
Il n'est
pas nécessaire de justifier chacun des calculs.
On ne donnera
que des valeurs exactes.
3.
Exprimer la distance MC est fonction de x.
|
Exercice 8
Soit
g la fonction représentée ci-dessous.
1.
Donner
l’ensemble de définition de g.
2.
Dresser
le tableau de variation de g.
3. Résoudre
graphiquement g(x)=2. Représenter votre raisonnement sur le graphique en bleu.
4. Résoudre
graphiquement g(x)<0. Représenter votre raisonnement sur le graphique en vert.
5. Quel
est le minimum de g sur [0 ;5] ?
Pour quelle(s) valeur(s) de x est-il atteint ?
6.
Quel
est le maximum de g sur [-4 ;0 ] ?
Pour quelle(s) valeur(s) de x est-il atteint ? |
Exercice 9
On mesure de manière la plus précise possible la température
à Brest et celle à Nancy tout au long de la même journée. On note B
la fonction qui à l’instant t, exprimé en heure, associe la température
à Brest, exprimée en degrés. Autrement dit B(12) est la température
à Brest à midi du jour étudié.
On note de même N la fonction qui à t associe la température
à Nancy, exprimée en degrés.
Ci-dessous, on trouve les représentations graphiques
respectives de B et N, notée CB (ligne avec carrés) et CN
(lignes avec ronds).
1. Préciser les ensembles de définition
respectifs des fonctions B et N.
2. a) Sur quelles plages horaires
fait-il plus chaud à Brest qu’à Nancy ?
b) En déduire les solutions
de B(t)N(t).
3. a) Sur quelles plages horaires
fait-il strictement plus froid à Brest qu’à Nancy ?
b)
En déduire les solutions de
B(t) < N(t).
4.
Dresser le tableau de variation
de N, à l’aide du graphique. |
Exercice 10
Nous allons étudier dans cet
exercice la hauteur d’eau dans le port de Dunkerque au cours d’une journée.
On note h la fonction qui à l’heure associe
la hauteur d’eau dans le port.
Partie
A
Voici
le relevé obtenu de 0h à 12h.
En
utilisant la représentation graphique de h, répondre aux questions
suivantes.
1)
Quelle est
la hauteur d’eau à 10h ?
2)
Déterminer
h(9).
3)
A quelles heures
la hauteur est-elle de 7 mètres ?
4)
Résoudre graphiquement
.
5)
Dresser le
tableau de variation de h sur [0 ;12].
Partie
B
On
constate que les mesures obtenues entre 12h et 24h peuvent être modélisées
par la fonction :
Temps
(en heure)
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
Hauteur
(en mètres)
|
5
|
1.6
|
0.6
|
|
1
|
2.8
|
|
7.2
|
9
|
|
9.9
|
8.4
|
5
|
1)
Recopier puis
compléter le tableau ci-dessus.
2)
Placer les
points obtenus dans un repère (O ; I, J) et les relier d’une manière
harmonieuse. On obtient un tracé probable pour la représentation graphique
de h sur [12 ;24].
3)
On note A le
point de coordonnées (33/2, 76/8). Ce point appartient-il à la représentation
graphique de h ?
|
Exercice 11
Soit f la
fonction représentée ci-dessous.
Dresser son tableau de variation
puis résoudre graphiquement l’équation . |
Exercice 12
Soit
f la fonction
définie sur par
.
1)
Calculer l’image de 1 par f.
2)
Calculer .
3)
Calculer l’image de
par f.
4)
Justifier que 5 est un antécédent de
20 par f.
5)
Déterminer
le ou les antécédents de 4 par f. |
Exercice 13
Généralités sur les fonctions : Activité
Le tour de France passe par
la Haute-Savoie.
Etape du jour : Contre la montre.
1.
Que représente
le graphique ?
2.
Peut-on définir
une fonction, si oui quelle serait l’image de 32, celle de 51 ?
3.
Quand la fonction
est-elle croissante ? Que cela
signifie-t-il pour le coureur cycliste ?
4.
Thônes étant
avant La Clusaz sur la partie du parcours où le coureur grimpe, que
peut-on dire des altitudes respectives de ces deux villes ?
5.
Megève est
avant St Gervais sur la partie du parcours où le coureur
descend, que peut-on dire des altitudes respectives de ces deux villes
?
|
Exercice 14
Généralités
sur les fonctions : activité 2
1.
Sur quelles plages horaires
la température est-elle positive ?
2.
Sur quelles plages horaires
la température est-elle négative ?
3.
Quand la température est-elle
à 0°C ?
4.
Sur quelles plages horaires
la température est-elle croissante ?
5.
Sur quelles plages horaires
la température est-elle décroissante ?
6.
Donner la température minimale.
A quelle heure a-t-il fait le plus froid ?
7.
Donner la température maximale.
A quelle heure a-t-il fait le plus chaud ? |
Exercice 15
Généralités
sur les fonctions : Exercice de synthèse.
Le but de cet
exercice est de reprendre l'ensemble des connaissances du chapitre et
de vérifier avant le Devoir Surveillé si tout est au point.
Commencer par se demander si on sait ce qu'est :
·
une fonction,
·
une fonction
définie par une formule,
·
la représentation
graphique d'une fonction,
·
l'image d'une
valeur par une fonction,
·
le ou les antécédents
d'une valeur par une fonction,
·
le tableau
de variations d'une fonction.
En cas de problème,
retour sur le cahier d'exos ou de cours. Demander de l'aide à un camarade
de classe ou au prof !
Tout paraît ok, alors maintenant on peut passer à l'exercice.
On considère la fonction
f définie par la formule suivante
:
Voici sa représentation graphique
Cf.
1.
A l'aide de
la représentation graphique de f, donner l'ensemble de définition de f.
2.
Calculer à
l'aide de la formule définissant f l'image
de 3.
3.
Calculer à
l'aide de la formule définissant f l'image
de -3.
4.
Déterminer
le ou les antécédents de 2 à l'aide de la représentation graphique.
5.
Déterminer
le ou les antécédents de 4 par le calcul.
6.
A l'aide du
graphique, donner le tableau de variation de f. |
Exercice
16
Dans
chaque cas, dire si on définit
une fonction.
a)
Au nombre d'achats N effectués dans un magasin, on associe le montant
M à payer à la caisse.
b)
A la longueur L (en cm) des rectangles d'aire 15cm², on associe leur
largeur l (en cm).
c) A la moyenne annuelle A des notes en mathématiques
des élèves de Troisième d'un collège, on associe leur note N dans cette
discipline au brevet. |
Exercice 17
f est la fonction définie sur [0 ; 10] par f
(x)= x² +x.
Dans
un repère, Cf est la représentation graphique de f. Le point A de Cf a pour abscisse
2.
Calculer
l'ordonnée du point A. |
Exercice 18
On
considère la fonction f définie pour tout nombre x par f (x) = -x² + 3x -2.
a)
Calculer les
images de 2, 0 et -3 par la fonction f.
b)
Calculer f (-).
c)
Calculer f
()
puis f (3).
d)
Calculer f
(2+).
e)
Trouver le
ou les antécédents de -2. |
Exercice
19
On
considère la fonction f définie sur l'intervalle [-5 ; 5] par f (x) = .
Calculer,
si elle existe, l'image par f de chacun des nombres suivants :
a)
-2.
b)
.
c)
6.
d)
. |
Exercice
20
Soit
f
la fonction représentée ci-après.
1)
Donner l'ensemble de définition Df.
2)
Lire l'image de 3 par f, ainsi que celle de 1, celle de -4 et celle de 5.
3)
Lire le ou les antécédents de 0 par f .
4)
Lire le ou les antécédents de 7 par f. |
Exercice
21
La
courbe C ci-après représente une fonction
f, définie sur [-8;11].
1.
Résoudre graphiquement les
équations :
·
f (x)=3
·
f (x)=-2
·
f (x)=0
·
f (x)=6
·
f (x)=7
2.
Résoudre graphiquement les
inéquations :
·
f (x)3
·
f (x)-2
·
f (x) > 0
3.
Donner le signe de f
(x) suivant les valeurs de x. |
Exercice 22
On lance une balle de jeu verticalement. Elle monte
puis retombe, 3 secondes après le lancé. Sa hauteur en mètres, en fonction
du temps est donnée par la fonction
f définie
par
où x est le temps écoulé depuis le lancement en l'air,
exprimé en secondes, avec x dans l'intervalle [0;3].
Voici
la représentation graphique de cette fonction.
1.
Interpréter f
(0) et f (3).
2.
D'après le graphique, quelle
est la hauteur maximale atteinte par la balle ?
3.
A l'aide du graphique, donner
les instants où la hauteur est égale à 15 mètres.
4.
Résoudre graphiquement f
(x)18.
En donner une interprétation concrète. |
Exercice
23
Recherche
d'un maximum.
Un rectangle ABCD a un périmètre
égal à 16cm. On appelle x la longueur du côté DC.
1.
Exprimer la
longueur de AD pour x =2cm.
2.
Exprimer la
longueur de AD pour x =5cm.
3.
Quelles sont
les valeurs possibles pour x.
4.
Exprimer la
longueur de AD en fonction de x.
5.
Montrer que
l'aire du rectangle est une fonction f qui vérifie
f (x)=x (8-x).
6.
Construire
un tableau de valeurs de f,
avec un pas de 0.5cm, pour des valeurs de x
allant de 0.5cm à 7.5cm.
7.
Tracer en vous
aidant du tableau une représentation graphique possible de f, on l'appellera Cf.
8.
Que peut-on
conjecturer quant à l'évolution de l'aire du rectangle ?
9.
Montrer que
l'on a
En déduire que 16-f (x) est toujours positif.
10.
Conclure en
donnant l'aire maximale du rectangle. |
Exercice 24
Dans chaque cas trouver l’expression de f(x), g(x), h(x) et j(x) en
fonction de x.
1) Fonction f.
On passe de x à f(x) en enchaînant
les trois opérations suivantes : on ajoute 4 au nombre x, on multiplie
le résultat par 5, on élève au carré le résultat obtenu.
2) Fonction g.
On passe de x à g(x) en enchaînant
les quatre opérations suivantes : on multiplie le nombre x par 5,
on ajoute au résultat le nombre 3, on élève au carré le résultat obtenu
puis on le multiplie par 6.
3) Fonction h.
L’image de x par h est la somme
du carré de x et du double de x.
4) Fonction j.
L’image de x par j est le produit
de 6 par le carré de la somme de 3 et du produit de 5 par x.
5) Que remarque-t-on quant aux fonctions g et j ? |
Exercice 25
Soit ABC un triangle rectangle en B avec AB = 3cm et
BC = 4cm.
M est un point de [BC].
La parallèle à la droite (AB) passant par M coupe le
segment [AC] en N.
On pose BM = x.
Le but de cet exercice est de déterminer pour quelle
valeur de x l’aire du triangle AMN est maximale.
On commencera par faire une figure.
Partie 1
On note f la
fonction qui à x associe l’aire du triangle AMN.
On admet que lorsque M est en B ou en C, alors le triangle
AMN a une aire égale à 0.
1)
Démontrer que (BM) est une hauteur du triangle AMN.
2)
Démontrer que .
3)
En déduire que f(x) =.
Préciser l’ensemble de définition de f.
Partie 2
1)
Former un tableau de valeurs relatif à la fonction f puis dessiner,
de manière approximative, en reliant les points obtenus, la représentation
graphique de la fonction f.
2)
Quel semble être le maximum de la fonction f sur son ensemble
de défintion ? On le notera Max.
3)
Vérifier que Max - f(x) = .
4)
Justifier que Max-f(x) est toujours positif et préciser pour quelle
valeur de la variable x cette différence est nulle.
5)
Conclure pour l’aire du triangle AMN.
6)
Où se trouve le point M lorsque l’aire du triangle AMN est maximale ?
|
Exercice 26
Soit f une
fonction définie sur l’intervalle [-5 ;5]. Ci-dessous on trouve
la représentation graphique de f.
1. Déterminer graphiquement le ou les antécédents
de 4 par f.
2. Déterminer graphiquement le
ou les antécédents de -2 par f.
3. a) Repasser en rouge la portion
de la représentation graphique de f
dont les points ont une ordonnée strictement supérieure à 5. En
déduire les solutions de f(x)
> 5.
4. a)Repasser en rouge la portion
de la représentation graphique de f
dont les points ont une ordonnée strictement inférieure à 2. En déduire les solutions de f(x) < 2.
5.
Dresser, à l’aide du graphique, le tableau de variation de f.
|
Exercice 27
On ne connaît d’une fonction
g que son tableau de variation.
x
|
-4
|
-2
|
0
|
4
|
6
|
g(x)
|
-1
|
4
|
-3
|
3
|
1
|
Pour chacune des affirmations
suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, ou si le tableau ne permet
pas de le savoir. On justifiera chacune des réponses.
1.
.
2.
.
3.
est
positif.
4.
.
5.
Si x appartient
à [4 ;6], alors .
6.
.
7.
.
8.
Le minimum
de g sur [-4 ;6] est -1.
On
doit trouver 4 réponses vraies, 1 réponse fausse et 3 « on ne peut
rien dire ». |