01 | 10 | 2014
Généralités sur les fonctions
Maths au lycée - Seconde
exercice 1 Compétences de base sur une fonction définie par sa représentation graphique
exercice 2 Modélisation géométrique (type Thalès) et représentation graphique d'une fonction
exercice 3 Calculs sur une fonction simple type rationnelle
exercice 4 Calculs sur une fonction simple type polynôme
exercice 5 Calculs sur une fonction simple type polynôme
exercice 6 Compétences de base sur une fonction définie par sa représentation graphique
exercice 7 Modélisation géométrique (type Pythagore) et calculs
exercice 8 Compétences de base sur une fonction définie par sa représentation graphique
exercice 9 Compétences de base sur une fonction définie par sa représentation graphique
exercice 10 Exercice complet avec modélisation d'une situation concrète
exercice 11 Tableau de variation à partir d'un graphique
exercice 12 Calculs sur une fonction simple type polynôme
exercice 13 Apprentissage des définitions des fonctions croissantes et décroissantes
exercice 14 Apprentissage de la ntion de fonction
exercice 15 exercice de synthèse sur les notions de base
exercice 16 Apprentissage de la notion de fonction
exercice 17 Utilisation de la définition de représentation graphique
exercice 18 Calculs sur une fonction simple type polynôme
exercice 19 Calculs sur une fonction simple type rationnelle
exercice 20 Compétences de base sur une fonction définie par sa représentation graphique
exercice 21 Compétences de base sur une fonction définie par sa représentation graphique (inéquations)
exercice 22 Compétences de base sur une fonction définie par sa représentation graphique
exercice 23 Modélisation géométrique puis optimisation (débutant)
exercice 24 Composée de fonction : sens des opérations
exercice 25 Modélisation géométrique puis optimisation (perfectionnement)
exercice 26 Compétences de base sur une fonction définie par sa représentation graphique
exercice 27 Utilisation du tableau de variation : vrai/faux


Exercice 1

 

Soit  f la fonction représentée ci-après.

 

 

1.    Donner l'ensemble de définition de f .

2.    Dresser son tableau de variation.

x

 

f (x)

 

 

 

 

3.     Résoudre graphiquement l'inéquation .

4.     Résoudre graphiquement l'inéquation .

 

Exercice 2

 

Partie A

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=8cm et AC=4cm.

Soit M un point de [AC], distinct de A et de C. On pose AM=x.

La parallèle à la droite (AB) passant par M coupe [BC] en N.

1.      Quelles sont les valeurs possibles pour x ? On donnera la réponse sous forme d’un intervalle.

2.      Calculer, en fonction de x, les longueurs CM et MN.

3.      Calculer, en fonction de x, l’aire du trapèze ABNM.

 

Partie B

Soit  f la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; 4 ] par .

1.      Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant

x

0

1

2

3

3.5

4

4.5

5

6

7

8

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.     Placer les points obtenus dans un repère (O ; I, J).

3.     Les points M ( ; 10)  et N ( ; ) appartiennent-ils à la représentation graphique de  f ? On justifiera par un calcul.

4.     Relier les  points placés dans le repère d’une façon harmonieuse.

 

Exercice 3

 

Soit  f  définie sur l’intervalle [-4 ; 4] par .

1.    Déterminer l’image de .

2.    Déterminer le ou les antécédents de .

3.    Déterminer le ou les antécédents de 0.

4.    Déterminer le ou les antécédents de 1.

Exercice 4

 

Soit la fonction  f  définie sur R par .

1.      Calculer l’image de 0, de  et de .

2.      Calculer les antécédents éventuels de 15.

Exercice 5

 

La fonction  f  est définie sur R par .

1.    Calculer l'image de 3 par  f.

2.    Calculer l’image de 0 par f.

3.    Calculer .

4.    Déterminer le ou les antécédents de 0 par f.

Exercice 6

 

Soit  g  la fonction représentée ci-contre

1.    Donner l'ensemble de définition de  g.

2.    Lire l'image de 3 par  g.

3.    Lire le ou les antécédents de 0 par  g.

4.    Résoudre graphiquement l'équation  g (x)=2.

5.    Résoudre graphiquement l'équation .

6.    Dresser le tableau de variation de  g.

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 7

Soit ABCD un rectangle tel que AD=7cm et DC=3cm.

 

Soit H un point de [AD] tel que HD=1cm.

Soit M un point de [AH], on note x la distance MD en centimètres.

1.    On pose x=4cm .(On fera évidemment attention à la rédaction).

Calculer dans ce cas la distance MC.

2.    Recopier puis compléter le tableau suivant. 

Il n'est pas nécessaire de justifier chacun des calculs.

On ne donnera que des valeurs exactes.

 

x

1

2

3

4

MC

 

 

 

 

 

3.    Exprimer la distance MC est fonction de x.

Exercice 8

Soit g la fonction représentée ci-dessous.

1.   Donner l’ensemble de définition de g.

2.   Dresser le tableau de variation de g.

3.  Résoudre graphiquement  g(x)=2. Représenter votre raisonnement sur le graphique en bleu.

4.  Résoudre graphiquement  g(x)<0. Représenter votre raisonnement sur le graphique en vert.

5.  Quel est le minimum de g sur [0 ;5] ? Pour quelle(s) valeur(s) de x est-il atteint ?

6.   Quel est le maximum de g sur [-4 ;0 ] ? Pour quelle(s) valeur(s) de x est-il atteint ?

 

Exercice 9

 

On mesure de manière la plus précise possible la température à Brest et celle à Nancy tout au long de la même journée. On note B la fonction qui à l’instant t, exprimé en heure, associe la température à Brest, exprimée en degrés. Autrement dit B(12) est la température à Brest à midi du jour étudié.

On note de même N la fonction qui à t associe la température à Nancy, exprimée en degrés.

Ci-dessous, on trouve les représentations graphiques respectives de B et N, notée CB (ligne avec carrés) et CN (lignes avec ronds).

1.  Préciser les ensembles de définition respectifs des fonctions B et N.      

2.  a) Sur quelles plages horaires fait-il plus chaud à Brest qu’à Nancy ?

     b) En déduire les solutions de B(t)N(t).

3.  a) Sur quelles plages horaires fait-il strictement plus froid à Brest qu’à Nancy ?

b)   En déduire les solutions de B(t) < N(t).

4.   Dresser le tableau de variation de N, à l’aide du graphique.

 

Exercice 10

 

Nous allons étudier dans cet exercice la hauteur d’eau dans le port de Dunkerque au cours d’une journée.

On note h la fonction qui à l’heure associe la hauteur d’eau dans le port.

Partie A

Voici le relevé obtenu de 0h à 12h.

En utilisant la représentation graphique de h, répondre aux questions suivantes.

1)               Quelle est la hauteur d’eau à 10h ?

2)               Déterminer h(9).

3)               A quelles heures la hauteur est-elle de 7 mètres ?

4)               Résoudre graphiquement .

5)               Dresser le tableau de variation de h sur [0 ;12].

 

 

Partie B

On constate que les mesures obtenues entre 12h et 24h peuvent être modélisées par la fonction :

Temps (en heure)

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Hauteur (en mètres)

5

1.6

0.6

 

1

2.8

 

7.2

9

 

9.9

8.4

5

1)     Recopier puis compléter le tableau ci-dessus.

2)     Placer les points obtenus dans un repère (O ; I, J) et les relier d’une manière harmonieuse. On obtient un tracé probable pour la représentation graphique de h sur [12 ;24].

3)     On note A le point de coordonnées (33/2, 76/8). Ce point appartient-il à la représentation graphique de h ?

 

Exercice 11

 

Soit  f  la fonction représentée ci-dessous.

 

 

 

 

 

 

 

Dresser son tableau de variation puis résoudre graphiquement l’équation .

Exercice 12

Soit  f  la fonction définie sur  par .

1)     Calculer l’image de 1 par  f.

2)     Calculer .

3)     Calculer l’image de par  f.

4)     Justifier que 5 est un antécédent de 20 par  f.

5)     Déterminer le ou les antécédents de 4 par f.

 

Exercice 13

Généralités sur les fonctions : Activité

Le tour de France passe par la Haute-Savoie.

Etape du jour : Contre la montre.

 

 

 

St Gervais

 
 
 

 

La Clusaz

 

Thônes

 

 

 

1.   Que représente le graphique ?

2.   Peut-on définir une fonction, si oui quelle serait l’image de 32, celle de 51 ?

3.   Quand la fonction est-elle croissante ?  Que cela signifie-t-il pour le coureur cycliste ?

4.   Thônes étant avant La Clusaz sur la partie du parcours où le coureur grimpe, que peut-on dire des altitudes respectives de ces deux villes ?

5.   Megève est avant St Gervais sur la partie du parcours où le coureur descend, que peut-on dire des altitudes respectives de ces deux villes ?

 Exercice 14

Généralités sur les fonctions : activité 2

1.   Sur quelles plages horaires la température est-elle positive ?

2.   Sur quelles plages horaires la température est-elle négative ?

3.   Quand la température est-elle à 0°C ?

4.   Sur quelles plages horaires la température est-elle croissante ?

5.   Sur quelles plages horaires la température est-elle décroissante ?

6.   Donner la température minimale. A quelle heure a-t-il fait le plus froid ?

7.   Donner la température maximale. A quelle heure a-t-il fait le plus chaud ?

 

Exercice 15

Généralités sur les fonctions : Exercice de synthèse.

Le but de cet exercice est de reprendre l'ensemble des connaissances du chapitre et de vérifier avant le Devoir Surveillé si tout est au point.

Commencer par se demander si on sait ce qu'est :

·      une fonction,

·      une fonction définie par une formule,

·      la représentation graphique d'une fonction,

·      l'image d'une valeur par une fonction,

·      le ou les antécédents d'une valeur par une fonction,

·      le tableau de variations d'une fonction.

En cas  de problème, retour sur le cahier d'exos ou de cours. Demander de l'aide à un camarade de classe ou au prof !

Tout paraît ok, alors maintenant on peut passer à l'exercice.

 

On considère la fonction  f  définie par la formule suivante :

Voici sa représentation graphique Cf.

1.   A l'aide de la représentation graphique de  f,  donner l'ensemble de définition de f.

2.   Calculer à l'aide de la formule définissant  f  l'image de 3.

3.   Calculer à l'aide de la formule définissant  f  l'image de -3.

4.   Déterminer le ou les antécédents de 2 à l'aide de la représentation graphique.

5.   Déterminer le ou les antécédents de 4 par le calcul.

6.   A l'aide du graphique, donner le tableau de variation de  f.

 

Exercice 16

 

Dans chaque cas, dire si  on définit une fonction.

a) Au nombre d'achats N effectués dans un magasin, on associe le montant M à payer à la caisse.

b) A la longueur L (en cm) des rectangles d'aire 15cm², on associe leur largeur l (en cm).

c) A la moyenne annuelle A des notes en mathématiques des élèves de Troisième d'un collège, on associe leur note N dans cette discipline au brevet.

 

Exercice 17

 

f  est la fonction définie sur [0 ; 10] par   f (x)= x² +x.

Dans un repère, Cf  est la représentation graphique de f. Le point A de Cf  a pour abscisse 2.

Calculer l'ordonnée du point A.

Exercice 18

 

On considère la fonction f  définie pour tout nombre x par f (x) = -x² + 3x -2.

a)   Calculer les images de 2, 0 et -3 par la fonction f.

b)   Calculer f (-).

c)   Calculer f () puis f (3).

d)   Calculer f (2+).

e)   Trouver le ou les antécédents de -2.

Exercice 19

On considère la fonction f  définie sur l'intervalle [-5 ; 5] par f (x) = .

Calculer, si elle existe, l'image par f  de chacun des nombres suivants :

a)   -2.

b)   .

c)    6.

d)   .

Exercice 20

 

Soit f  la fonction représentée ci-après.

1)   Donner l'ensemble de définition Df.

2)   Lire l'image de 3 par f, ainsi que celle de 1, celle de -4 et celle de 5.

3)   Lire le ou les antécédents de 0 par f .

4)   Lire le ou les antécédents de 7 par f.

 

Exercice 21

 

La courbe C  ci-après représente une fonction  f,  définie sur [-8;11].

1.   Résoudre graphiquement les équations :

·      f (x)=3

·      f (x)=-2

·      f (x)=0

·      f (x)=6

·      f (x)=7

2.     Résoudre graphiquement les inéquations :

·      f (x)3

·      f (x)-2

·      f (x) > 0

3.     Donner le signe de  f (x) suivant les valeurs de x.

 

Exercice 22

 

On lance une balle de jeu verticalement. Elle monte puis retombe, 3 secondes après le lancé. Sa hauteur en mètres, en fonction du temps est donnée par la fonction  f  définie par

où x est le temps écoulé depuis le lancement en l'air, exprimé en secondes, avec x dans l'intervalle [0;3].

Voici la représentation graphique de cette fonction.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.   Interpréter  f (0) et  f (3).

2.   D'après le graphique, quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?

3.   A l'aide du graphique, donner les instants où la hauteur est égale à 15 mètres.

4.   Résoudre graphiquement  f (x)18. En donner une interprétation concrète.

 

Exercice 23

 

Recherche d'un maximum.

 

Un rectangle ABCD a un périmètre égal à 16cm. On appelle x  la longueur du côté DC.

 

1.            Exprimer la longueur de AD pour x =2cm.

2.            Exprimer la longueur de AD pour x =5cm.

 

3.            Quelles sont les valeurs possibles pour x.

4.            Exprimer la longueur de AD en fonction de x.

5.            Montrer que l'aire du rectangle est une fonction f  qui vérifie  f (x)=x (8-x).

 

6.            Construire un tableau de valeurs de f, avec un pas de 0.5cm, pour des valeurs de x allant de 0.5cm à 7.5cm.

7.            Tracer en vous aidant du tableau une représentation graphique possible de f, on l'appellera Cf.

8.            Que peut-on conjecturer quant à l'évolution de l'aire du rectangle ?

 

9.            Montrer que l'on a

En déduire que 16-f (x) est toujours positif.

10.       Conclure en donnant l'aire maximale du rectangle.

 

Exercice 24

Dans chaque cas trouver l’expression de  f(x), g(x), h(x) et j(x) en fonction de x.

1)   Fonction f.
On passe de x à f(x) en enchaînant les trois opérations suivantes : on ajoute 4 au nombre x, on multiplie le résultat par 5, on élève au carré le résultat obtenu.

2)   Fonction g.
On passe de x à g(x) en enchaînant les quatre opérations suivantes : on multiplie le nombre x par 5, on ajoute au résultat le nombre 3, on élève au carré le résultat obtenu puis on le multiplie par 6.

3)   Fonction h.
L’image de x par h est la somme du carré de x et du double de x.

4)   Fonction j.
L’image de x par j est le produit de 6 par le carré de la somme de 3 et du produit de 5 par x.

5)   Que remarque-t-on quant aux fonctions g et j ?

Exercice 25

 

Soit ABC un triangle rectangle en B avec AB = 3cm et BC = 4cm.

M est un point de [BC].

La parallèle à la droite (AB) passant par M coupe le segment [AC] en N.

On pose BM = x.

Le but de cet exercice est de déterminer pour quelle valeur de x l’aire du triangle AMN est maximale.

On commencera par faire une figure.

 

Partie 1

On note f  la fonction qui à x associe l’aire du triangle AMN.

On admet que lorsque M est en B ou en C, alors le triangle AMN a une aire égale à 0.

1)    Démontrer que (BM) est une hauteur du triangle AMN.

2)    Démontrer que .

3)    En déduire que f(x) =. Préciser l’ensemble de définition de  f.

 

Partie 2

1)    Former un tableau de valeurs relatif à la fonction f puis dessiner, de manière approximative, en reliant les points obtenus, la représentation graphique de la fonction f.

2)    Quel semble être le maximum de la fonction f  sur son ensemble de défintion ? On le notera Max.

3)    Vérifier que Max - f(x) = .

4)    Justifier que Max-f(x) est toujours positif et préciser pour quelle valeur de la variable x cette différence est nulle.

5)    Conclure pour l’aire du triangle AMN.

6)    Où se trouve le point M lorsque l’aire du triangle AMN est maximale ?

Exercice 26

 

Soit  f  une fonction définie sur l’intervalle [-5 ;5]. Ci-dessous on trouve la représentation graphique de f.

 

1.  Déterminer graphiquement le ou les antécédents de 4 par f.

2.  Déterminer graphiquement le ou les antécédents de -2 par f.

3.  a) Repasser en rouge la portion de la représentation graphique de f dont les points ont une ordonnée strictement supérieure à 5. En déduire les solutions de f(x) > 5.

4.  a)Repasser en rouge la portion de la représentation graphique de f dont les points ont une ordonnée strictement inférieure à 2.  En déduire les solutions de f(x) < 2.

5.  Dresser, à l’aide du graphique, le tableau de variation de f.

Exercice 27

 

On ne connaît d’une fonction g que son tableau de variation.

x

-4

-2

0

4

6

g(x)

         

         

-1

4

         

         

         

-3

3

          

 

1

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, ou si le tableau ne permet pas de le savoir. On justifiera chacune des réponses.

1.           .

2.           .

3.           est positif.

4.           .

5.           Si x appartient à [4 ;6], alors .

6.           .

7.           .

8.           Le minimum de g sur [-4 ;6] est -1.

On doit trouver 4 réponses vraies, 1 réponse fausse et 3 « on ne peut rien dire ».